Question

【题目】抛物线y=ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方．

（1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）．
①求该抛物线的解析式；
②若D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标；
（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时， 是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①将P（1，﹣3），B（4，0）代入y=ax2+c，得

，解得 ，

抛物线的解析式为y= x2﹣ ；

②如图1

，

由∠DPO=∠POB，得

DP∥OB，

D与P关于y轴对称，P（1，﹣3），

得D（﹣1，﹣3）；

（2）

解：点P运动时， 是定值，

设P点坐标为（m， m2﹣ ），A（﹣4，0），B（4，0），

设AP的解析式为y=kx+b，将A、P点坐标代入，得

，

解得b= ，即E（0， ），

设BP的解析式为y=k1x+b1，将B、P点坐标代入，得

，

解得b2= ，即F（0， ），

OF+OE= + = = ，

= =2．

【解析】本题考查了二次函数综合题，①利用待定系数法求函数解析式；②利用函数值相等的点关于对称轴对称得出D点坐标是解题关键；（2）利用待定系数法求出E、F点坐标是解题关键．（1）①根据待定系数法求函数解析式，可得答案；②根据平行线的判定，可得PD∥OB，根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得D点坐标；（2）根据待定系数法，可得E、F点的坐标，根据分式的性质，可得答案．