Question

3．如图，在等腰△ABC中，CB=CA，延长AB至点D，使DB=CB，连接CD，以CD为边作等腰△CDE，使CE=CD，∠ECD=∠BCA，连接BE交CD于点M．
（1）BE=AD吗？请说明理由；
（2）若∠ACB=40°，求∠DBE的度数．

Answer 1

分析 （1）求出∠BCE=∠ACD，根据SAS证出△BCE≌△ACD，得出对应边相等即可；
（2）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠A=∠ABC=70°，由△BCE≌△ACD，得出对应角相等∠EBC=∠A=70°，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠ACB=40°即可．

解答 （1）解：BE=AD；理由如下：
∵∠ECD=∠BCA，
∴∠ECD+∠BCD=∠BCA+∠BCD，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}&{\;}\\{∠BCE=∠ACD}&{\;}\\{CE=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD．
（2）解：∵CB=CA，∠ACB=40°，
∴∠A=∠ABC=70°，
由（1）得：△BCE≌△ACD，
∴∠EBC=∠A=70°，
∵∠DBC=∠DBE+∠EBC=∠ACB+∠ACB，
∴∠DBE=∠ACB=40°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质；证明三角形全等是解决问题的关键．