把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上.OA边在直线m上.然后第1次将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°.此时.点O运动到了点O1处.点C运动到了点C1处.点B运动到了点B1处.第2次又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点.按顺时针方向旋转90°-.按上述方法经过29次旋转后.顶点O经过的总路程为$\frac{7\sqrt{2}+15}{2}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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12．把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后第1次将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O₁处（即点B处），点C运动到了点C₁处，点B运动到了点B₁处，第2次又将正方形纸片AO₁C₁B₁绕B₁点，按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过29次旋转后，顶点O经过的总路程为$\frac{7\sqrt{2}+15}{2}$π．

分析为了便于标注字母，且更清晰的观察，每次旋转后向右稍微平移一点，作出前几次旋转后的图形，点O的第1次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形，第2次旋转路线是以正方形的对角线长为半径，以90°圆心角的扇形，第3次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形；
①根据弧长公式列式进行计算即可得解；
②求出29次旋转中有几个4次，然后根据以上的结论进行计算即可求解．

解答解：如图，为了便于标注字母，且位置更清晰，每次旋转后不防向右移动一点，
第1次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形，路线长为$\frac{90π×1}{180}$=$\frac{1}{2}$π；
第2次旋转路线是以正方形的对角线长$\sqrt{2}$为半径，以90°圆心角的扇形，路线长为$\frac{90π×\sqrt{2}}{180}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$π；
第3次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形，路线长为$\frac{90π×1}{180}$=$\frac{1}{2}$π；
第4次旋转点O没有移动，旋转后与最初正方形的放置相同，
因此4次旋转，顶点O经过的路线长为$\frac{1}{2}$π+$\frac{\sqrt{2}}{2}$π+$\frac{1}{2}$π=$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$π；
∵29÷4=7…1，
∴经过29次旋转，顶点O经过的路程是4次旋转路程的7倍加上第1次路线长，即$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$π×7+$\frac{1}{2}$π=$\frac{7\sqrt{2}+15}{2}$π．

故答案为：$\frac{7\sqrt{2}+15}{2}$π．

点评本题考查了弧长的计算和旋转变换的性质，正方形的性质以及弧长的计算，读懂题意，并根据题意作出图形更形象直观，且有利于旋转变换规律的发现．

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1．