Question

11．先化简，再求值：（$\frac{2}{a+1}+\frac{a+2}{{a}^{2}-1}$）$÷\frac{a}{a-1}$，其中a=2cos45°-1．

Answer 1

分析 先化简，再代入求值，代入前将三角函数值代入求出a的值．

解答 解：（$\frac{2}{a+1}+\frac{a+2}{{a}^{2}-1}$）$÷\frac{a}{a-1}$，
=[$\frac{2（a-1）}{{a}^{2}-1}$+$\frac{a+2}{{a}^{2}-1}$]•$\frac{a-1}{a}$，
=$\frac{2a-2+a+2}{{a}^{2}-1}$•$\frac{a-1}{a}$，
=$\frac{3}{a+1}$，
当a=2cos45°-1=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1=$\sqrt{2}$-1时，
原式=$\frac{3}{\sqrt{2}-1+1}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题是分式的化简求值问题，考查了特殊的三角函数值和分式的混合运算及代入求值，要熟记30°、45°、60°的三角函数值；在分式的化简求值问题中，先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．