Question

设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程x²+x+c-a=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a的根为x=0．试判断△ABC的形状并说明理由．

Answer 1

解：∵关于x的方程x²+x+c-a=0有两个相等的实数根，
∴△=（）²-4××（c-a）=b-2（c-a）=b-2c+a=0，
∵方程3cx+2b=2a的根为x=0，
∴2b=2a，
∴a=b，
∴b-2c+a=2a-2c=0，
∴a=c，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形．
分析：根据关于x的方程x²+x+c-a=0有两个相等的实数根，得出△=b-2c+a=0，再根据方程3cx+2b=2a的根为x=0，得出a=b，再根据b-2c+a=2a-2c=0，得出a=c，即可判断出△ABC的形状．
点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根，关键是根据判别式和已知条件求出a，b，c的关系．