Question

【题目】定义： 数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．
理解：
（1）如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF= CD，试判断△AEF是否为“智慧三角形”，并说明理由； 运用：

（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y=3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1所示

（2）解：△AEF是否为“智慧三角形”，

理由如下：设正方形的边长为4a，

∵E是DC的中点，

∴DE=CE=2a，

∵BC：FC=4：1，

∴FC=a，BF=4a﹣a=3a，

在Rt△ADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，

在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，

在Rt△ABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，

∴AE2+EF2=AF2，

∴△AEF是直角三角形，

∵斜边AF上的中线等于AF的一半，

∴△AEF为“智慧三角形”；

（3）解：如图3所示：

由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，

根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，

由垂线段最短可得斜边最短为3，

由勾股定理可得PQ= =2 ，

PM=1×2 ÷3= ，

由勾股定理可求得OM= = ，

故点P的坐标（﹣ ， ），（ ， ）．

【解析】（1）连结AO并且延长交圆于C1 ， 连结BO并且延长交圆于C2 ， 即可求解；（2）设正方形的边长为4a，表示出DF=CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2 ， 再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF为“智慧三角形”；（3）根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解．