Question

6．如图，一次函数y=kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y=-$\frac{8}{x}$的图象有一交点为A（-2，b）点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先利用反比例函数解析式求出b，得到A点坐标为（-2，4），然后把A点坐标代入y=kx+5中求出k，从而得到一次函数解析式；
（2）由于将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y=kx+5-m，则直线y=kx+5-m与反比例函数有且只有一个公共点，即方程组，只有一组解，然后消去y得到关于x的二次函数，再根据判别式的意义得到关于m的方程，最后解方程求出m的值．

解答 解：（1）把A（-2，b）代入y=-$\frac{8}{x}$得b=-$\frac{8}{-2}$=4，
所以A点坐标为（-2，4），
把A（-2，4）代入y=kx+5得-2k+5=4，解得k=$\frac{1}{2}$，
所以一次函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x+5；

（2）令直线AB向下平移m个单位得到的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+5-m
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{8}{x}}\\{y=\frac{1}{2}x+5-m}\end{array}\right.$得消去y得-$\frac{8}{x}$=$\frac{1}{2}$x+5-m，
整理得$\frac{1}{2}$x²-（m-5）x+8=0，
∵图象只有一个公共点，
∴△=（m-5）²-4×$\frac{1}{2}$×8=0，解得m=9或m=1．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了一次函数与几何变换．