Question

已知平行四边形ABCD四个顶点到动直线l的距离分别为a、b、c、d，
（1）如图①，当直线l在平行四边形ABCD外时，证明：a+c=b+d；
（2）当直线l移动至与平行四边形ABCD相交（l与边不平行）时，上述关系还成立吗？若成立，试给予证明，若不成立，试找出a、b、c、d之间的关系，并给予证明．

Answer 1

分析：（1）作辅助线，利用中位线定理求解，
（2）先假设，通过作图辅助验证，然后一步步得出结论，再由所得出的结论找出a、b、c、d之间的关系，再进一步进行验证，即证明结论正确．题中直线l移动至与平行四边形ABCD相交，存在多种情况，
①当四个顶点中一个顶点在直线的一侧（不妨设是D）而另外三个顶点在另一侧；
②当有两个顶点在一侧（不妨设A，D），另外两个顶点在另一侧；
③当直线只过某一顶点，（设过顶点A，点D在直线的一侧，B，C在直线的另一侧）；
④当直线与对角线重合时（不妨设是AC）
然后再对每一种情况进行分析．

解答：解：（1）如图所示，连AC，BD相交于点O，过点O作OP⊥L于P，

由题意可得，OP为AA₁CC₁的中位线，∴a+c=2OP，
同理，b+d=2OP，∴a+c=b+d．

（2）当直线l移动至与平行四边形ABCD相交时，上述关系不成立，以下几种情况说明：
①当四个顶点中一个顶点在直线的一侧（不妨设是D）而另外三个顶点在另一侧，则有b=a+c+d．
证明：如图所示，

由（1）可知，a+c=2OP，连DB₁，过点O作OP⊥L于P，交DB₁于Q，
则OQ为△DBB₁的中位线，故OQ=

BB1

2

=

b

2

，同理，PQ=

d

2

，
所以OP=OQ-PQ=

b

2

 - 

d

2

，即，b-d=2OP，
所以a+c=b-d
即b=a+c+d．
②当有两个顶点在一侧（不妨设A，D），另外两个顶点在另一侧，则有a+b=c+d．
证明：如图所示，在①中有b-d=2OP，连接AC₁，延长OP交AC₁于R，

则PR为△AA₁C₁的中位线，故PR=

AA1

2

=

a

2

，同理，OR=

c

2

，所以OP=OR-PR=

c

2

 - 

a

2

，即c-a=2OP，
所以，c-a=b-d，
即a+b=c+d．
③当直线只过某一顶点，（设过顶点A，点D在直线的一侧，B，C在直线的另一侧）则b=d+2c
④当直线与对角线重合时（不妨设是AC）则b=d．

点评：熟练掌握勾股定理以及平行四边形的性质，能够运用三角形中位线定理，会通过建立等效平衡找出几个不同量之间的关系．