Question

如图，直线y=-x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．
（1）求该反比例函数的关系式；
（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；
①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；
②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=

1

m

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,待定系数法求反比例函数解析式,勾股定理,矩形的判定与性质,垂径定理,直线与圆的位置关系,锐角三角函数的定义

专题：压轴题,探究型

分析：（1）设反比例函数的关系式y=

k

x

，然后把点P的坐标（2，1）代入即可．
（2）①先求出直线y=-x+3与x、y轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出△A′BC的周长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，运用面积法可以求出CD长，从而求出sin∠BA′C的值．
②由于BC=2，sin∠BMC=

1

m

，因此点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上，因而点M应是⊙E与x轴的交点．然后对⊙E与x轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点M的坐标．

解答：解：（1）设反比例函数的关系式y=

k

x

．
∵点P（2，1）在反比例函数y=

k

x

的图象上，
∴k=2×1=2．
即反比例函数的关系式y=

2

x

．

（2）①过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图1所示．
当x=0时，y=0+3=3，
则点B的坐标为（0，3）．OB=3．
当y=0时，0=-x+3，解得x=3，
则点A的坐标为（3，0），OA=3．
∵点A关于y轴的对称点为A′，
∴OA′=OA=3．
∵PC⊥y轴，点P（2，1），
∴OC=1，PC=2．
∴BC=2．
∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1，
∴A′B=3

2

，A′C=

10

．
∴△A′BC的周长为3

2

+

10

+2．
∵S_△A′BC=

1

2

BC•A′O=

1

2

A′B•CD，
∴BC•A′O=A′B•CD．
∴2×3=3

2

×CD．
∴CD=

2

．
∵CD⊥A′B，
∴sin∠BA′C=

DC

A′C

=

2

10

=

5

5

．
∴△A′BC的周长为3

2

+

10

+2，sin∠BA′C的值为

5

5

．
②当1＜m＜2时，
作经过点B、C且半径为m的⊙E，
连接CE并延长，交⊙E于点P，连接BP，
过点E作EG⊥OB，垂足为G，
过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2①所示．
∵CP是⊙E的直径，
∴∠PBC=90°．
∴sin∠BPC=

BC

PC

=

2

2m

=

1

m

．
∵sin∠BMC=

1

m

，
∴∠BMC=∠BPC．
∴点M在⊙E上．
∵点M在x轴上
∴点M是⊙E与x轴的交点．
∵EG⊥BC，
∴BG=GC=1．
∴OG=2．
∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°，
∴四边形OGEH是矩形．
∴EH=OG=2，EG=OH．
∵1＜m＜2，
∴EH＞EC．
∴⊙E与x轴相离．
∴x轴上不存在点M，使得sin∠BMC=

1

m

．
②当m=2时，EH=EC．
∴⊙E与x轴相切．
Ⅰ．切点在x轴的正半轴上时，如图2②所示．
∴点M与点H重合．
∵EG⊥OG，GC=1，EC=m，
∴EG=

EC2-GC2

=

3

．
∴OM=OH=EG=

3

．
∴点M的坐标为（

3

，0）．
Ⅱ．切点在x轴的负半轴上时，
同理可得：点M的坐标为（-

3

，0）．
③当m＞2时，EH＜EC．
∴⊙E与x轴相交．
Ⅰ．交点在x轴的正半轴上时，
设交点为M、M′，连接EM，如图2③所示．
∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2，
∴MH=

EM2-EH2

=

m2-22

=

m2-4

．
∵EH⊥MM′，
∴MH=M′H．
∴M′H═

m2-4

．
∵∠EGC=90°，GC=1，EC=m，
∴EG=

EC2-GC2

=

m2-12

=

m2-1

．
∴OH=EG=

m2-1

．
∴OM=OH-MH=

m2-1

-

m2-4

，
∴OM′=OH+HM′=

m2-1

+

m2-4

，
∴M（

m2-1

-

m2-4

，0）、M′（

m2-1

+

m2-4

，0）．
Ⅱ．交点在x轴的负半轴上时，
同理可得：M（-

m2-1

+

m2-4

，0）、M′（-

m2-1

-

m2-4

，0）．
综上所述：当1＜m＜2时，满足要求的点M不存在；
当m=2时，满足要求的点M的坐标为（

3

，0）和（-

3

，0）；
当m＞2时，满足要求的点M的坐标为（

m2-1

-

m2-4

，0）、（

m2-1

+

m2-4

，0）、（-

m2-1

+

m2-4

，0）、（-

m2-1

-

m2-4

，0）．

点评：本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、勾股定理、三角函数的定义、矩形的判定与性质、直线与圆的位置关系、垂径定理等知识，考查了用面积法求三角形的高，考查了通过构造辅助圆解决问题，综合性比较强，难度系数比较大．由BC=2，sin∠BMC=

1

m

联想到点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上是解决本题的关键．