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【题目】如图,直线轴、轴分别相交于点BC,经过BC两点的抛物线轴的另一个交点为A,顶点为P,且对称轴为直线。点G是抛物线位于直线下方的任意一点,连接PBGBGCAC .

1)求该抛物线的解析式;

2)求GBC面积的最大值;

3)连接AC,在轴上是否存在一点Q,使得以点PBQ为顶点的三角形与ABC相似?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。

【答案】1; 2)当时面积的取最大值; 3)在x轴上存在两点Q100),Q20),能使得以点PBQ为顶点的三角形与ABC相似.

【解析】

1)根据二次函数的对称性,已知对称轴的解析式以及B点的坐标,即可求出A的坐标,利用抛物线过ABC三点,可用待定系数法来求函数的解析式;

2)过轴交于点.设点,则点,列出关于GBC面积的解析式,利用二次函数的性质求解即可;

3)本题要先根据抛物线的解析式求出顶点P的坐标,然后求出BP的长,进而分三情况进行讨论:∠PBQ=∠ABC=45°时;∠QBP=∠ABC=45°时;QB点右侧,即可得出∠PBQ≠∠BAC,因此此种情况是不成立的,综上所述即可得出符合条件的Q的坐标.

1直线y=﹣x+3x轴相交于点BC

y0时,x3;当x0时,y3.

B的坐标为(30),点C的坐标为(03),

抛物线过x轴上的AB两点,且对称轴为x2

A的坐标为(10).

抛物线yax2+bx+c过点A10),B30),C03),

解得:

该抛物线的解析式为:

2)如图,过轴交于点.

设点,则点

当时面积的取最大值.

3)如图,

yx24x+3=(x221,得顶点P2,﹣1),

设抛物线的对称轴交x轴于点M

Rt△PBM中,PMMB1

∴∠PBM45°PB

由点B30),C03)易得OBOC3,在等腰直角三角形OBC中,ABC45°

由勾股定理,得BC

假设在x轴上存在点Q,使得以点PBQ为顶点的三角形与ABC相似.

PBQABC45°时,PBQ∽△ABC

解得:BQ3

BO3

Q与点O重合,

Q1的坐标是(00).

QBPABC45°时,QBP∽△ABC

解得:QB

OB3

OQOBQB3

Q2的坐标是(0).

QB点右侧,

PBQ135°BAC135°

PBQ≠∠BAC

则点Q不可能在B点右侧的x轴上,

综上所述,在x轴上存在两点Q100),Q20),能使得以点PBQ为顶点的三角形与ABC相似.

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