Question

13．已知如图，AC=AE，AD=AB，∠ACB=∠DAB=90°，AE∥CB，AC、DE交于点F．
（1）求证：∠DAC=∠B；
（2）猜想线段AF、BC的数量关系并证明．

Answer 1

分析 （1）由题意可以作辅助线即作DG⊥AC的延长线于G，然后根据平行线的性质可以推出结论；
（2）在第一问的基础上先证出△ADG≌△ABC和△AEF≌△GDF（AAS），再有全等关系得出线段AF、BC的数量关系．

解答 （1）证明：如图所示：作DG⊥AC的延长线于G，
∵∠ACB=∠DAB=90°，AE∥BC，
∴∠CAE=180°-∠ACB=90°，∠B=∠BAE，
∴∠DAC=90°-∠BAC=∠BAE，
∴∠DAC=∠B；

（2）解：BC=2AF．
理由：∵AG⊥DG，
∴∠AGD=∠ACB=90°，
在△ADG和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGD=∠ACB}\\{∠DAG=∠B}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ABC（AAS），
∴DG=AE；AG=BC，
在△AEF和△GDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFG=∠EFA}\\{∠EAF=∠DGC}\\{DG=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△GDF（AAS），
∴AF=GF=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{1}{2}$BC，
∴BC=2AF．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是平行线的性质和全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线，构造全等的三角形．