Question

9．已知点A、B的坐标分别是（2，0）、（-1，3），连接AB、BO．求sin∠ABO的值．

Answer 1

分析 作OC⊥AB于C，如图，利用两点间的距离公式计算出OA=2，BD=3，AB=3$\sqrt{2}$，OB=$\sqrt{10}$，则利用面积法求出OC=$\sqrt{2}$，然后在Rt△BOC中利用正弦的定义求解．

解答 解：作OC⊥AB于C，如图，
∵A（2，0）、B（-1，3），
∴OA=2，BD=3，AB=$\sqrt{（2+1）^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，OB=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵$\frac{1}{2}$•OC•AB=$\frac{1}{2}$•BD•OA，
∴OC=$\frac{3×2}{3\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
在Rt△BOC中，sin∠CBO=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
即sin∠ABO的值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了坐标与图形性质．解决本题的关键是构建直角三角形求sin∠ABO的值．