Question

4．如图，O是等边△ABC的外心，BO的延长线和⊙O相交于点D，连接DC，DA，OA，OC．
（1）求证：△BOC≌△CDA；
（2）若AB=2$\sqrt{3}$，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）根据内心性质得∠1=∠2，∠3=∠4，则AD=CD，于是可判断四边形OADC为菱形，则BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，易得OA=OC，∠2=∠3，所以OB=OC，可判断点O为△ABC的外心，则可判断△ABC为等边三角形，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，再根据平行四边形的性质得∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA=OB，则根据“SAS”证明△BOC≌△CDA；
（2）作OH⊥AB于H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOH=30°，根据垂径定理得到BH=AH=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，得出OH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BH=1，OB=2OH=2，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S_阴影部分=S_扇形AOB-S_△AOB进行计算即可．

解答 （1）证明：如图1所示：
∵O是等边△ABC的外心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴AD=CD，
∵四边形OADC为平行四边形，
∴四边形OADC为菱形，
∴BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，
而∠1=∠5，
∴OA=OC，∠2=∠3，
∴OB=OC，
∴点O为△ABC的外心，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，
∵四边形OADC为平行四边形，
∴∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA，
∴AD=OB，
在△BOC和△CDA中，$\left\{\begin{array}{l}{OB=DC}&{\;}\\{∠BOC=∠ADC}&{\;}\\{OC=DA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BOC≌△CDA（SAS）；
（2）解：作OH⊥AB于H，如图2所示，
∵∠AOB=120°，OA=OB，
∴∠BOH=$\frac{1}{2}$（180°-120°）=30°，
∵OH⊥AB，
∴BH=AH=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
OH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BH=1，
OB=2OH=2，
∴S_阴影部分=S_扇形AOB-S_△AOB
=$\frac{120π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1=$\frac{4}{3}$π-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、垂径定理、扇形面积公式等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质是解决问题的关键．