Question

19．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（1，0）、B（3，0）．抛物线y=x²-2mx+m²-4的顶点为P，与y轴的交点为Q．
（1）填空：点P的坐标为（m，-4）；点Q的坐标为（0，m²-4）（均用含m的代数式表示）
（2）当抛物线经过点A时，求点Q的坐标．
（3）连接QA、QB，设△QAB的面积为S，当抛物线与线段AB有公共点时，求S与m之间的函数关系式．
（4）点P、Q不重合时，以PQ为边作正方形PQMN（P、Q、M、N分别按顺时针方向排列）．当正方形PQMN的四个顶点中，位于x轴两侧或y轴两侧的顶点个数相同时，直接写出此时m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用配方法可得顶点P的坐标，令x=0，求出y，可得点Q坐标；
（2）利用待定系数法即可解决问题；
（3）分两种情形①点Q在x轴下方．②点Q在x轴上方．分别求解即可；
（4）在图3～图6中，分四种情形分别构建方程即可解决问题．

解答 解：（1）∵y=x²-2mx+m²-4=（x-m）²-4，
∴顶点P（m，-4），
令x=0，得到y=m²-4，
∴Q（0，m²-4）．
故答案为（m，-4），（0，m²-4）．

（2）将A（1，0）代入y=x²-2mx+m²-4中，
得到1-2m+m²-4=0，
解得m=-1或3，
当m=-1时，m²-4=-3，点Q的坐标为（0，-3），
当m=3时，m²-4=5，点Q的坐标为（0，5）．

（3）如图1中，

由题意$\left\{\begin{array}{l}{1-2m+{m}^{2}-4≤0}\\{9-6m+{m}^{2}-4≥0}\end{array}\right.$，解得-1≤m≤1，
∴当-1≤m＜≤时，S=$\frac{1}{2}$•AB•OQ=$\frac{1}{2}$•2•（4-m²）=4-m²．
如图2中，

由题意$\left\{\begin{array}{l}{1-2m+{m}^{2}-4≥0}\\{9-6m+{m}^{2}-4≤0}\end{array}\right.$，解得3≤m≤5，
当3≤m≤5时，S=$\frac{1}{2}$•AB•OQ=m²-4．

（4）如图3中，如图当点N在y轴上时，满足条件，易知m²-4=-3，解得m=-1或1（舍弃）．

如图4中，作ME⊥y轴于E，PF⊥y轴于F．

由△MEQ≌△QFP，可得QE=PF=-m，可得点M的纵坐标为m²-4+m，
当m²+m-4＞0时，满足条件，
解得m＜$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$或m＞$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$（舍弃）
如图5中，同法可得，$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-4＞0}\\{m-4＜0}\end{array}\right.$时满足条件，解得2＜m＜4．

如图6中，同法可得$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-4＜0}\\{m-4＞0}\end{array}\right.$时满足条件，此不等式无解．

综上所述，满足条件的m的范围是m＜$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$或m=-1或2＜m＜4．

点评 本题考查二次函数综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次不等式组等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会把问题转化为方程或不等式解决，属于中考压轴题．