Question

如图，O为坐标原点，直线l绕着点A（0，2）旋转，与经过点C（0，1）的二次函数y=x²+h的图象交于不同的两点P、Q．
（1）求h的值；
（2）通过操作、观察，算出△POQ的面积的最小值（不必说理）；
（3）过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：在直线l的旋转过程中，四边形AOBQ是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=x²+h经过点C（0，1），
∴×0+h=1，
解得h=1．

（2）依题意，设抛物线y=x²+1上的点，P（a，a²+1）、Q（b，b²+1）（a＜0＜b）
过点A的直线l：y=kx+2经过点P、Q，
∴a²+1=ak+2…①
b²+1=bk+2…②
①×b-②×a得：（a²b-b²a）+b-a=2（b-a），
化简得：b=-；
∴S_△POQ=OA•|x_Q-x_P|=•OA•|--a|=（-）+（-a）≥2•=4
由上式知：当-=-a，即|a|=|b|（P、Q关于y轴对称）时，△POQ的面积最小；
即PQ∥x轴时，△POQ的面积最小，且POQ的面积最小为4．

（3）连接BQ，若l与x轴不平行（如图），即PQ与x轴不平行，
依题意，设抛物线y=x²+1上的点，P（a，a²+1）、Q（b，b²+1）（a＜0＜b）
直线BC：y=k₁x+1过点P，
∴a²+1=ak₁+1，得k₁=a，
即y=ax+1．
令y=0得：x_B=-，
同理，由（2）得：b=-
∴点B与Q的横坐标相同，
∴BQ∥y轴，即BQ∥OA，
又∵AQ与OB不平行，
∴四边形AOBQ是梯形，
据抛物线的对称性可得（a＞0＞b）结论相同．
故在直线l旋转的过程中：当l与x轴不平行时，四边形AOBQ是梯形；当l与x轴平行时，四边形AOBQ是正方形．
分析：（1）根据二次函数图象上的点的坐标特征，利用待定系数法求得h的值．
（2）该小题应从三角形的面积公式入手分析，首先要选取合适的底和高；在△POQ中，OA的长是不变的，那么若以OA为底，P、Q到y轴的距离和为高，即可得到△PQO的面积．先设P点横坐标，然后根据抛物线、直线PA的解析式求出Q点横坐标，通过不等式的相关知识即可解出P、Q到y轴距离和的最小值．
（3）判断四边形AOBQ的形状，可从四个顶点的坐标特征上来判断．首先设出P、Q的坐标，然后根据点P、C求出直线BC的解析式，进而表示出点B的坐标，然后再通过直线PQ以及P、A、Q三点坐标，求出Q、B两点坐标之间的关联，进而判断该四边形是否符合梯形的特征．（需要注意的是：判定梯形的条件：一组对边平行且另一组对边不平行）
点评：题目考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、不等式的应用、三角形面积的解法、梯形的判定等知识，综合性强，难度较大．注意在判定梯形时不要遗漏“一边不平行”的条件．