Question

如图，直线：分别与轴、轴交于A、B两点，点C线段AB上，作CD⊥x轴于D, CD=2OD, 点E线段OB上,且AE=BE；

（1）填空：点C的坐标为（      ，     ）；点E的坐标为（      ，     ）；

（2）直线过点E，且将△AOB分成面积比为1：2的两部分，求直线的表达式；

（3）点P在x轴上运动，

①当PC+PE取最小值时，求点P的坐标及PC+PE的最小值；

②当PC-PE取最大值时，求点P的坐标及PC-PE的最大值；

Answer 1

（1）点C（  2  ，  4  ）；点E（ 0 ，  3 ）；

（2）直线m的表达式为：或

（3）①_；②

【解析】

分析：（1）根据求出点A,B的坐标，A（4,0）,B（0,8），所以OA=4，OB=8，设OD=m，则CD=2OD=2m，因为 CD⊥x轴，所以点C的坐标是（m，2m）代入可求出点C的坐标，设OE=x,则AE=BE=8-x，在△OAE中，根据勾股定理可求出x的值，从而可得点E的坐标；

（2）设直线m的表达式为，然后分情况讨论

（3）①求出点E关于X轴的对称点E′坐标，然后求直线C E′与x轴的交点，即为点P;②直线CE与与x轴的交点即为点P．

解：（1）点C（  2  ，  4  ）；点E（ 0 ，  3 ）；

（2）设直线m的表达式为

①如图：

当时，

得FH=,将代入得

将点F（，）代入得，

所以直线m的表达式为

②如图：

当时，,

得ON=,将点N（，）代入得，

所以直线m的表达式为

综上，直线m的表达式为：或

（3）①如图：

E关于X轴的对称点E′坐标为（0，-3），

设直线CE′的表达式为代入C（2,4）得;,所以

将代入得

所以P的坐标为

作E′Q⊥CD于Q,则E′Q=OD=2，CQ=7

所以PC+PE的最小值= CE′==

②如图：

设直线CE的表达式为，与x轴相交为p,

代入C（2，4），得，

所以，当时，；点P坐标为（-6，0），

作CR⊥y轴于R,则CR=OD=2，ER=1，

所以PC-PE的最大值= CE==

【难度】较难