Question

如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．

（1）对角线AC的长是     ，菱形ABCD的面积是       ；

（2）如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由；

（3）如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由，若变化，请探究OE、OF之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

（1）12；96 ；

（2）OE+OF=9．6是定值，不变；

（3）OE+OF的值变化，OE、OF之间的数量关系为：OE-OF=9．6

【解析】

分析：（1）连接AC与BD相交于点G，根据菱形的对角线互相垂直平分求出BG，再利用勾股定理列式求出AG，然后根据AC=2AG计算即可得解；再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解；

（2）连接AO，根据S_△ABD=S_△ABO+S_△ADO列式计算即可得解；

（3）连接AO，根据S_△ABD=S_△ABO-S_△ADO列式整理即可得解．

解：（1）如图，连接AC与BD相交于点G，

在菱形ABCD中，AC⊥BD，BG=BD=×16=8，

由勾股定理得，AG==6，

∴AC=2AG=2×6=12，

菱形ABCD的面积=AC•BD=×12×16=96；

故答案为：12；96；

（2）如图，连接AO，

则

所以，BD•AG=AB•OE+AD•OF，

即×16×6=×10•OE+×10•OF，

解得OE+OF=9．6是定值，不变；

（3）如图，连接AO，

则

所以，BD•AG=AB•OE-AD•OF，

即×16×6=×10•OE-×10•OF，

解得OE-OF=9．6，是定值，不变，

所以，OE+OF的值变化，OE、OF之间的数量关系为：OE-OF=9．6．

【难度】困难