Question

在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C＝90°，如图（1），则根据勾股定理，得a²＋b²＝c²．若△ABC不是直角三角形，如图（2）和（3），请你类比勾股定理，试猜想a²＋b²与c²的关系，并证明你的结论．

Answer 1

若△ABC为锐角三角形，则有a²＋b²＞c²，若△ABC为钝角三角形，∠C为钝角，则有a²＋b²＜c²．

【解析】

解：若△ABC为锐角三角形，则有a²＋b²＞c²，若△ABC为钝角三角形，∠C为钝角，则有a²＋b²＜c²．

证明：（1）当△ABC为锐角三角形时，过点A作AD⊥CB，垂足为D，设CD＝x，则有DB＝a－x．

根据勾股定理，得b²－x²＝c²－（a－x）²，即b²－x²＝c²－a²＋2ax－x²．

∴a²＋b²＝c²＋2ax．∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，

∴a²＋b²＞c²．

（2）当△ABC为钝角三角形时，过B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，设CD＝x，则BD²＝a²－x²．根据勾股定理，得（b＋x）²＋（a²－x²）＝c²，∴a²＋b²＋2bx＝c²．

∵b＞0，x＞0，∴2bx＞0，∴a²＋b²＜c²．

【难度】较难