Question

10．如图，平行四边形OABC中，OA=2$\sqrt{3}$，∠A=60°，AB交y轴于点D，点C（3$\sqrt{3}$，0），F是BC的中点，E在OC上从O向C移动，EF的延长线与AB的延长线交于点G．
（l）求D、B的坐标；
（2）求证：四边形ECGB是平行四边形；
（3）求当OE是多少时，四边形ECGB是矩形；OE是多少时，四边形ECGB是菱形．
（4）设OE=x，四边形OAGC的面积为y，请写出y与x的关系式．

Answer 1

分析 （1）由含30°直角三角形的性质可得AD=$\sqrt{3}$，由锐角三角函数易得OD的长，可得D点坐标，由平行四边形的性质可得AB的长，易得BD的长，可得B点坐标；
（2）由平行四边形的性质可得AG∥OC，∠BGE=∠GEC，由F是CB的中点，易证得△BFG≌△CFE，由全等三角形的性质可得BG=CE，由平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得结论；
（3）由矩形的性质可得∠BEC=90°，又因为∠A=∠BCE=60°，易得∠EBC=30°，可得EC的长，求得OE的长；由菱形的性质可得△BEC是等边三角形，易得EC的长，求得OE；
（4）由OE=x，可得BG=CE=3$\sqrt{3}$-x，利用平行四边形和三角形的面积公式可得四边形OAGC的面积，得y与x的关系式．

解答 （1）解：∵平行四边形OABC中，∠A=60°，
∴∠ADO=90°，∠AOD=30°，
∵OA=2$\sqrt{3}$，
∴AD=$\sqrt{3}$，OD=3，
∴D坐标（0，3），
∵AB=OC=3$\sqrt{3}$，
∴BD=AB-AD=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴B坐标（2$\sqrt{3}$，3）；

（2）证明：∵四边形OABC是平行四边形，
∴AG∥OC，
∴∠BGE=∠GEC，
∵F是CB的中点，
∴BF=CF，
又∵∠BFG=∠CFE，
在△BFG与△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BGE=∠GEC}\\{BF=CF}\\{∠BFG=∠CFE}\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△CFE（ASA），
∴BG=CE，
∴四边形ECGB是平行四边形；

（3）解：∵四边形ECGB是矩形，
∴∠BEC=90°
∵∠A=∠BCE=60°．
∴∠EBC=30°，
∵OA=BC=2$\sqrt{3}$，
∴EC=$\sqrt{3}$，
∴OE=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∵四边形ECGB是菱形，∠BCE=60°，
∴△BEC是等边三角形，
∴BC=EC=2$\sqrt{3}$，
∴OE=3$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$；

（4）解：∵OE=x，
∴BG=CE=3$\sqrt{3}$-x，
∴S_△BGC=$\frac{1}{2}$BG•OD=$\frac{1}{2}$×（3$\sqrt{3}$-x）×3=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3}{2}x$，
∴S_{四边形OAGC}=S_{平行四边形OABC}+S_△BGC=3$\sqrt{3}$×3+$\frac{9\sqrt{3}}{2}$$-\frac{3}{2}$x=$\frac{27\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}x$．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质，含30°直角三角形的性质，矩形的性质，菱形的性质等，综合运用各性质定理，平行四边形和三角形的面积公式是解答此题的关键．