Question

【题目】如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为（ ）

A.10．5
B.7 -3．5
C.11．5
D.7 -3．5

Answer 1

【答案】A
【解析】当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．

当GH为直径时，E点与O点重合，

∴AC也是直径，AC=14．

∵∠ABC是直径上的圆周角，

∴∠ABC=90°，

∵∠C=30°，

∴AB= AC=7．

∵点E、F分别为AC、BC的中点，

∴EF= AB=3．5，

∴GE+FH=GH-EF=14-3．5=10．5．

所以答案是：A．

【考点精析】根据题目的已知条件，利用三角形中位线定理和圆心角、弧、弦的关系的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．