Question

如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点M，点N为DE的中点．
（1）若AB=4，求△DNF的周长及sin∠DAF的值；
（2）求证：2AD•NF=DE•DM．

Answer 1

考点：正方形的性质,相似三角形的判定与性质,解直角三角形

专题：几何综合题

分析：（1）根据线段中点定义求出EC=DF=2，再利用勾股定理列式求出DE，然后三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出NF，再求出DN，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解；利用勾股定理列式求出AF，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解；
（2）利用“边角边”证明△ADF和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=DE，全等三角形对应角相等可得∠DAF=∠CDE，再求出AF⊥DE，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DF=EC=2NF，然后根据∠DAF和∠CDE的余弦列式整理即可得证．

解答：（1）解：∵点E、F分别是BC、CD的中点，
∴EC=DF=

1

2

×4=2，
由勾股定理得，DE=

22+42

=2

5

，
∵点F是CD的中点，点N为DE的中点，
∴DN=

1

2

DE=

1

2

×2

5

=

5

，
NF=

1

2

EC=

1

2

×2=1，
∴△DNF的周长=1+

5

+2=3+

5

；
在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF=

AD2+DF2

=

42+22

=2

5

，
所以，sin∠DAF=

DF

AF

=

2

2 5

=

5

5

；

（2）证明：在△ADF和△DCE中，

AD=CD ∠ADC=∠C=90° EC=DF

，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，
∵∠DAF+∠AFD=90°，
∴∠CDE+∠AFD=90°，
∴AF⊥DE，
∵点N、F分别是DE、CD的中点，
∴NF是△CDE的中位线，
∴DF=EC=2NF，
∵cos∠DAF=

AD

AF

=

AD

DE

，
cos∠CDE=

DM

DF

=

DM

2NF

，
∴

AD

DE

=

DM

2NF

，
∴2AD•NF=DE•DM．

点评：本题考查了正方形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，锐角三角函数的定义，（2）求出三角形全等，再根据等角的余弦相等列出等式求解更简便．