Question

【题目】如图,A,C,B三点在同一条直线上,△DAC和△EBC都是等边三角形,AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,有如下结论:①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN,其中正确结论的个数是( )

A.3
B.2
C.1
D.0

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵△DAC和△EBC都是等边三角形 ，
∴AC=CD，CE=BC，∠ACD=∠ECB=60° ，
∴∠ACE=∠DCB ，
∴△ACE≌△DCB（SAS） 。 ①符合题意；
∵ △ACE≌△DCB ，
∴∠AEC=∠DBC
∵∠DCE+∠ACD+∠ECB=180°，∠ACD=∠ECB=60°
∴∠DCE=∠ECB=60° ，
∵CE=BC，
∴△EMC≌△BNC（ASA）
∴CM=CN ，②符合题意 ；
∵AC=DC 在△DNC中，DC所对的角为∠DNC=∠NCB+∠NBC=60°+∠NBC＞60°，而DN所对的角为60°，根据三角形中等边对等角、大边对大角，小边对小角的规律，则DC＞DN，即是AC＞DN，③不符合题意；
∴正确的结论有两个．
故应选：B 。
根据等边三角形的性质AC=CD，CE=BC，∠ACD=∠ECB=60° ，根据等式的性质得出∠ACE=∠DCB ，从而利用SAS判断出△ACE≌△DCB ；根据全等三角形对应角相等得出∠AEC=∠DBC ，根据平角的定义得出∠DCE=∠ECB=60° ，然后利用ASA判断出△EMC≌△BNC ，根据全等三角形对应边相等得出CM=CN ；AC=DC 在△DNC中，DC所对的角为∠DNC=∠NCB+∠NBC=60°+∠NBC＞60°，而DN所对的角为60°，根据三角形中等边对等角、大边对大角，小边对小角的规律，则DC＞DN，即是AC＞DN；从而得出结论。