Question

【题目】如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，点C在OP上，满足∠CBP＝∠ADB．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BP＝7.

【解析】

（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，再根据等腰三角形的性质和已知条件证出∠OBC=90°，即可得出结论；

（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似三角形的对应边成比例求BP的长．

（1）证明：连接OB，如图，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD＝90°，

∴∠A+∠ADB＝90°，

∵OA＝OB，

∴∠A＝∠OBA，

∵∠CBP＝∠ADB，

∴∠OBA+∠CBP＝90°，

∴∠OBC＝180°﹣90°＝90°，

∴BC⊥OB，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：∵OA＝2，

∴AD＝2OA＝4，

∵OP⊥AD，

∴∠POA＝90°，

∴∠P+∠A＝90°，

∴∠P＝∠D，

∵∠A＝∠A，

∴△AOP∽△ABD，

∴＝，即＝，

解得：BP＝7．