Question

（2013•福州质检）（1）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是△ABC三边的中点．求证：四边形ADEF是菱形．
（2）一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？

Answer 1

分析：（1）D，E，F分别是AB，BC，AC边上的中点，则可以想到三角形的中位线定理，易证四边形ADEF是平行四边形．要证明是菱形，只要再证明它的一组邻边相等即可．
（2）设江水流速为v千米/时，则顺水速=静水速+水流速，逆水速=静水速-水流速．根据顺流航行100千米所用时间，与逆流航行60千米所用时间相等，列方程求解．

解答：（1）证明：∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴DE∥AC，DE=

1

2

AC，EF∥AB，EF=

1

2

AB，
∴四边形ADEF为平行四边形．   
又∵AC=AB，
∴DE=EF．                    
∴四边形ADEF为菱形；       
（2）解：设江水的流速为x千米/时，依题意，得：

100

20+x

=

60

20-x

，
解得：x=5．       
经检验：x=5是原方程的解．  
答：江水的流速为5千米/时．

点评：（1）本题主要应用了菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
（2）本题考查了方式方程的应用，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．此题中涉及的公式：顺水速=静水速+水流速，逆水速=静水速-水流速，时间=路程÷速度．