Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c的开口向下，与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0）．与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标．（用含a的代数式表示）；
（2）若△ACD的面积为3．
①求抛物线的解析式；
②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠PAB=∠DAC，求平移后抛物线的解析式．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），
∴抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1）=ax²+2ax-3a，
∵y=a（x+3）（x-1）=a（x²+2x-3）=a（x+1）²-4a，
∴顶点D的坐标为（-1，-4a）；

（2）如图1，①设AC与抛物线对称轴的交点为E．
∵抛物线y=ax²+2ax-3a与y轴交于点C，
∴C点坐标为（0，-3a）．
设直线AC的解析式为：y=kx+t，
则：，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y=-ax-3a，
∴点E的坐标为：（-1，-2a），
∴DE=-4a-（-2a）=-2a，
∴S_△ACD=S_△CDE+S_△ADE=×DE×OA=×（-2a）×3=-3a，
∴-3a=3，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；

②∵y=-x²-2x+3，
∴顶点D的坐标为（-1，4），C（0，3），
∵A（-3，0），
∴AD²=（-1+3）²+（4-0）²=20，CD²=（-1-0）²+（4-3）²=2，AC²=（0+3）²+（3-0）²=18，
∴AD²=CD²+AC²，
∴∠ACD=90°，
∴tan∠DAC===，
∵∠PAB=∠DAC，
∴tan∠PAB=tan∠DAC=．
如图2，设y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4向右平移后的抛物线解析式为y=-（x+m）²+4，两条抛物线交于点P，直线AP与y轴交于点F．
∵tan∠PAB===，
∴OF=1，则F点的坐标为（0，1）或（0，-1）．
分两种情况：
（Ⅰ）如图2①，当F点的坐标为（0，1）时，易求直线AF的解析式为y=x+1，
由，解得，（舍去），
∴P点坐标为（，），
将P点坐标（，）代入y=-（x+m）²+4，
得=-（+m）²+4，
解得m₁=-，m₂=1（舍去），
∴平移后抛物线的解析式为y=-（x-）²+4；
（Ⅱ）如图2②，当F点的坐标为（0，-1）时，易求直线AF的解析式为y=-x-1，
由，解得，（舍去），
∴P点坐标为（，-），
将P点坐标（，-）代入y=-（x+m）²+4，
得-=-（+m）²+4，
解得m₁=-，m₂=1（舍去），
∴平移后抛物线的解析式为y=-（x-）²+4；
综上可知，平移后抛物线的解析式为y=-（x-）²+4或y=-（x-）²+4．
分析：（1）已知抛物线与x轴的两交点的横坐标分别是-3和1，设抛物线解析式的交点式y=a（x+3）（x-1），再配方为顶点式，可确定顶点坐标；
（2）①设AC与抛物线对称轴的交点为E，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，求出点E的坐标，即可得到DE的长，然后由S_△ACD=×DE×OA列出方程，解方程求出a的值，即可确定抛物线的解析式；
②先运用勾股定理的逆定理判断出在△ACD中∠ACD=90°，利用三角函数求出tan∠DAC=．设y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4向右平移后的抛物线解析式为y=-（x+m）²+4，两条抛物线交于点P，直线AP与y轴交于点F．根据正切函数的定义求出OF=1．分两种情况进行讨论：（Ⅰ）如图2①，F点的坐标为（0，1），（Ⅱ）如图2②，F点的坐标为（0，-1）．针对这两种情况，都可以先求出点P的坐标，再得出m的值，进而求出平移后抛物线的解析式．
点评：此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，勾股定理的逆定理，三角函数的定义，三角形的面积、两函数交点坐标的求法，函数平移的规律等知识，综合性较强，有一定难度，解题的关键是方程思想、数形结合思想与分类讨论思想的应用．