Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AC平分∠DAB，E、F分别为对角线AC、DB的中点，且EF=4．求这个梯形的面积．

Answer 1

分析：求出AD=DC=BC，AB=2AD，设CD=a，则AB=2a，连接DE，并延长DE交AB于M，证△DEC≌△MEA，推出DC=AM=a，DE=EM，求出EF=

1

2

BM，即可求出a，过C作CN⊥AB于N，求出CN即可．

解答：解：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠DAB=∠ABC=60°，DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB=

1

2

∠DAB=30°，∠DCA=∠DAC，
∴∠ACB=90°，AD=DC=BC，
∴AB=2BC=2CD，
设CD=a，则AB=2a，
连接DE，并延长DE交AB于M，
∵在△DEC和△MEA中

∠DCE=∠MAE CE=AE ∠DEC=∠MEA

，
∴△DEC≌△MEA（ASA），
∴DC=AM=a，DE=EM，
∵DF=BF，
∴EF=

1

2

BM=

1

2

（AB-AM），
∵EF=4，
∴4=

1

2

（2a-a），
a=8，
即BC=AD=DC=8，AB=16，
过C作CN⊥AB于N，
∵BC=8，∠ABC=60°，
∴∠BCN=30°，
∴BN=

1

2

BC=4，由勾股定理得：CN=4

3

，
∴梯形的面积=

1

2

（DC+AB）×CN=

1

2

×（8+16）×4

3

=48

3

．

点评：本题需要辅助线的帮助，有一定难度，主要考查的是等腰梯形的性质以及梯形的面积公式．