Question

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c交x轴于点A、B，交y轴于点M，OA=3，tan∠AMO=$\frac{3}{4}$，OM=OB．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在第三象限内，点P（m，n）（m＜0，n＜0）在抛物线上，试用m的代数式表示△PBM的面积；点P在什么位置时，△PBM的面积最大？求出这时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据正切的概念和题意分别求出点A、点B、点M的坐标，运用待定系数法求出解析式；
（2）根据函数图象上点的坐标特征以及梯形的面积公式用m的代数式表示△PBM的面积，根据二次函数的性质求出△PBM的面积最大值，求出点P的坐标．

解答 解：（1）∵tan∠AMO=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{OA}{OM}$=$\frac{3}{4}$，又OA=3，
∴OM=4，
∴OB=OM=4，
∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（-4，0），点M的坐标为（0，-4），
则$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=0}\\{16a-4b+c=0}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{1}{3}}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
则抛物线的表达式为：y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x-4；
（2）作PH⊥AB于H，
∵点P（m，n）在抛物线上，
∴n=$\frac{1}{3}$m²+$\frac{1}{3}$m-4，
△PBM的面积=梯形OHPM的面积+△HBP的面积-△OBM的面积
=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{1}{3}$m+4+4）×（-m）+$\frac{1}{2}$×（4+m）×（-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{1}{3}$m+4）-$\frac{1}{2}$×4×4
=-$\frac{2}{3}$m²-$\frac{8}{3}$m
=-$\frac{2}{3}$（m+2）²+$\frac{8}{3}$，
∴当m=-2时，△PBM的面积最大，
点P的坐标为（-2，-$\frac{10}{3}$）．

点评 本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式、锐角三角函数的概念、二次函数的性质，灵活运用待定系数法求出函数的解析式、掌握配方法把二次函数一般式化为顶点式是解题的关键，注意坐标与图形的性质的应用．