Question

2．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以$\sqrt{2}$cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S₁，矩形PDFE的面积为S₂，运动时间为t秒，则t=6秒时，S₁=2S₂．

Answer 1

分析 利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出S₁和S₂，然后根据S₁=2S₂，即可列方程求解．

解答 解：∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，
∴AD=BD=CD=8$\sqrt{2}$cm，
又∵AP=$\sqrt{2}$t，
则S₁=$\frac{1}{2}$AP•BD=$\frac{1}{2}$×8$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$t=8t，PD=8$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，
∵PE∥BC，
∴△APE∽△ADC，
∴$\frac{PE}{DC}$=$\frac{AP}{AD}$，
∴PE=AP=$\sqrt{2}$t，
∴S₂=PD•PE=（8$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t）•$\sqrt{2}$t，
∵S₁=2S₂，
∴8t=2（8$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t）•$\sqrt{2}$t，
解得：t=6．
故答案是：6．

点评 本题考查了一元二次方程的应用，以及等腰直角三角形的性质，正确表示出S₁和S₂是关键．