Question

如图，已知⊙O的半径OA⊥OB，C是OB上的一点，AC交⊙O于D，E为OB延长线上一点，且EC=ED．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若△BCD∽△DCE，OC=1，求⊙O的半径．

Answer 1

解：（1）证明：连结OD，
∵OD=OA，EC=ED，
∴∠ODA=∠A，∠EDC=∠ECD
又∵∠ECD=∠OCA，
∴∠EDC=∠OCA
又∵OA⊥OB，
∴∠EOA=90°
∠A+∠OCA=∠EDC+∠ODA=∠EDO=90°
∴OD⊥ED
又∵OD为⊥⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线．

（2）设OD=x
∵∠EOA=90°，
∴∠ADB=45°
又∵△BCD∽△DCE，
∴∠E=∠ADB=45°
在Rt△EDO中，OD²+ED²=OB²
又∵∠E=45°，ED=EC=OD=x，OC=1
∴x²+x²=（x+1）²
解这个一元二次方程x²-2x-1=0，得x=1+或x=1-（负值不适合，应舍去），
所以，⊙O的半径为1+．
分析：（1）△CED和△OAD都是等腰三角形，根据等边对等角，可以证得=∠EDC+∠ODA=∠EDO=90°，从而证得ED是圆的切线；
（2）根据相似三角形的性质证得△OED是等腰直角三角形，依据勾股定理即可求得半径OD的长．
点评：本题是切线的判定与性质以及勾股定理、相似三角形的判定与性质的综合应用，正确证明△OED是等腰直角三角形是关键．