Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点E，F分别是边AB，AD上的点，且满足∠BCE=∠DCF，连结EF．

（1）若AF=1，求EF的长；

（2）取CE的中点M，连结BM，FM，BF．求证：BM⊥FM．

Answer 1

【答案】(1)1；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据已知和菱形的性质证明△CBE≌△CDF，得到BE=DF，证明△AEF是等边三角形，求出EF的长；

（2）延长BM交DC于点N，连结FN，证明△CMN≌△EMB，得到NM=MB，证明△FDN≌△BEF，得到FN=FB，得到BM⊥MF．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD=BC=DC，∠D=∠CBE，

又∵∠BCE=∠DCF，

在△CBE与△CDF中，

，

∴△CBE≌△CDF，

∴BE=DF．

又∵AB=AD，

∴AB-BE=AD-DF，即AE=AF，

又∵∠A=60°，

∴△AEF是等边三角形，

∴EF=AF，

∵AF=1，

∴EF=1．

（2）如图1，延长BM交DC于点N，连结FN，

∵四边形ABCD是菱形，

∴DC∥AB，

∴∠NCM=∠BEM，∠CNM=∠EBM

∵点M是CE的中点，

∴CM=EM．

在△CMN与△EMB中，

，

∴△CMN≌△EMB，

∴NM=MB，CN=BE．

又∵AB=DC．

∴DC-CN=AB-BE，即DN=AE．

∵△AEF是等边三角形，

∴∠AEF=60°，EF=AE．

∴∠BEF=120°，EF=DN．

∵DC∥AB，

∴∠A+∠D=180°，

又∵∠A=60°，

∴∠D=120°，

∴∠D=∠BEF．

在△FDN与△BEF中，

，

∴△FDN≌△BEF，

∴FN=FB，

又∵NM=MB，

∴BM⊥MF