Question

19．如图，直线l₁：y=-x+3与x轴相交于点A，与y轴交于点E．直线l₂：y=kx+b经过点（3，-1），与x轴交于点B（6，0），与y轴交于点C，与直线l₁相交于点D．
（1）求直线l₂的函数关系式；
（2）点P是l₂上一点，若△ABP的面积等于△ABD的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）设点Q的坐标为（m，3），是否存在m的值使得QA+QB最小？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）动点M从A出发，沿点A向点E运动，运动速速为每秒1个单位长度，点M运动到点E时停止运动，当运动2$\sqrt{2}$秒时，在坐标轴上是否存在点T使得△AMT是以AM为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设直线l₂的解析式为y=kx+b（k≠0），把点（3，-1），B（6，0）代入求出k，b的值即可得出结论；
（2）设P（x，$\frac{1}{3}$x-2），联立两直线的解析式可得出D点坐标，再由△ABP的面积等于△ABD的面积的2倍可得出结论；
（3）先求出A、E两点的坐标，过点E作直线EM∥x轴，作点A关于直线EM的对称点A′，连接A′B交直线EM于点Q，则点Q即为所求点，利用待定系数法求出直线A′B的解析式，进而可得出Q点的坐标．
（4）根据勾股定理求出AE的长，过点M作MG⊥x轴于点G，由相似三角形的性质求出M点的坐标，再分∠MAT=90°与∠AMT=90°两种情况进行讨论．

解答 解：（1）设直线l₂的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵点（3，-1），B（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}3k+b=-1\\ 6k+b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{3}\\ b=-2\end{array}\right.$．
∴直线l₂的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-2；

（2）设P（x，$\frac{1}{3}$x-2），
∵$\left\{\begin{array}{l}y=-x+3\\ y=\frac{1}{3}x-2\end{array}\right.$，
∴D（$\frac{15}{4}$，-$\frac{3}{4}$）．
∵△ABP的面积等于△ABD的面积的2倍，
∴|$\frac{1}{3}$x-2|=2×$\frac{3}{4}$，解得x=$\frac{3}{2}$或$\frac{21}{2}$．
∴P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$）或（$\frac{21}{2}$，$\frac{3}{2}$）；

（3）存在．
∵直线y=-x+3与x轴相交于点A，与y轴交于点E，
∴A（3，0），E（0，3）．
过点E作直线EM∥x轴，作点A关于直线EM的对称点A′，则A′（3，6），
设直线A′B的解析式为y=ax+c（a≠0），
∵B（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}6a+c=0\\ 3a+c=6\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-2\\ c=12\end{array}\right.$．
∴直线A′B的解析式为y=-2x+12，
∴当y=3时，x=$\frac{9}{2}$，
∴Q（$\frac{9}{2}$，3）；

（4）存在．
∵如图2，A（3，0），E（0，3），
∴AE=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
过点M作MG⊥x轴于点G，则△AMG∽△AEO，
∴$\frac{AG}{OA}$=$\frac{AM}{AE}$，即$\frac{AG}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，解得AG=AG=2，
∴M（1，2）．
设直线AT的解析式为y=x+b，
当∠MAT=90°时，∵A（3，0），
∴3+b=0，解得b=-3，
∴直线AT的解析式为y=x-3，
∴当x=0时，y=-3，即T₁（0，-3）；
当∠AMT=90°时，
∵M（1，2），
∴1+b=2，解得b=1，
∴直线AT的解析式为y=x+1，
∴当x=0时，y=1；当y=0时x=-1，
∴T₂（0，1），T₃（-1，0）．
综上所示，T点坐标为T₁（0，-3），T₂（0，1），T₃（-1，0）．

点评 本题考查的是一次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点、轴对称-最短路线问题、相似三角形的判定与性质等知识，在解答（4）时要注意进行分类讨论，不要漏解．