Question

12．如图，四边形ABCD是正方形，点E为ABCD内一点，将BE绕点B顺时针旋转90°得到BF，连接EF、AE、CF，EF与CB交于点G．
（1）求证：AE=CF；
（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质，可得BE与BF的关系，根据余角的性质，可得∠ABE与∠CBF的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据旋转的性质，可得BE与BF的关系，根据等腰直角三角形的性质，可得∠BEG根据三角形外角的性质，可得答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°．
∵BE绕点B顺时针旋转90°得到BF，
∴BE=BF，∠EBF=90°．
∵∠ABE+∠EBG=90°，∠CBF+∠EBG=90°，
∴∠ABE=∠CBF．
在△ABE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBF}\\{BE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF （SAS），
∴AE=CF；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°．
∵∠ABE=55°，
∴∠EBG=90°-55°=35°
∵BE绕点B顺时针旋转90°得到BF，
∴BE=BF，∠EBF=90°，
∴∠BEG=∠BFG=45°．
∵∠EGC是△BEG的外角，
∴∠EGC=∠EBG+∠BEG=35°+45°=80°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，（1）利用余角的性质得出∠ABE=∠CBF是解题关键；（2）利用三角形外角的性质是解题关键．