Question

1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长．
（3）AE=4，BD=10，求CD的长度．

Answer 1

分析 （1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE=∠DEA=90°，故AE⊥OA，即AE是⊙O的切线；
（2）根据圆周角定理，可得在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°，有AD=2DE；在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，有BD=2AD=4DE，即可得出答案；
（3）先利用三个角是直角的四边形是矩形，得出OF=AE=4，再用勾股定理求出DF即可得出CD．

解答 （1）证明：连接OA，
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA=∠EDA．
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD=∠EDA，
∴OA∥CE．
∵AE⊥CE，
∴AE⊥OA．
∴AE是⊙O的切线．

（2）解：∵BD是直径，
∴∠BCD=∠BAD=90°．
∵∠DBC=30°，∠BDC=60°，
∴∠BDE=120°．
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA=∠EDA=60°．
∴∠ABD=∠EAD=30°．
∵在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°，
∴AD=2DE．
∵在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，
∴BD=2AD=4DE．
∵DE的长是1cm，
∴BD的长是4cm．

（3）解：如图2，连接OA，过O点作OF垂直CD于F，
∴∠OFE=90°，CD=2DF，
∵AE是⊙O的切线．
∴∠OAE=90°，
∵AE⊥CD，
∴∠AED=90°，
∴∠OFE=∠OAE=∠AED=90°，
∴四边形OAEF是矩形，
∴OF=AE=4，
在Rt△ODF中，OD=$\frac{1}{2}$BD=5，
∴DF=$\sqrt{O{D}^{2}-O{F}^{2}}$=3
∴CD=2DF=6．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了切线的判定，角平分线的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，构造出直角三角形是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．