Question

11．如图，抛物线y=ax²+bx与x轴交于点A（4，0），点B（1，3）在抛物线上，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；
（3）若点M在直线BH上运动且在x轴下方，点N在x轴上运动，当以点M为直角顶点的△CMN为等腰直角三角形时，求出此时△CMN的面积．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用点C、B关于抛物线的对称轴对称确定出点C的坐标；
（2）利用三角形的面积建立方程求解即可得出结论；
（3）先由等腰直角三角形的性质，判断出Rt△NHM≌Rt△MBC得出BC，BM，最后用面积公式求解即可．

解答 解：（1）把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax²+bx中，得，
$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=0}\\{a+b=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线y=-x²+4x，
设点C（c，3），
∴3=-c²+4c，
∴c=3或c=1（舍），
∴C（3，3）．
（2）如图1，

过点P作PD⊥BH，连接PH，
设P（m，-m²+4m），
∴BH=AH=3，HD=m²-4m，PD=m-1，
∴S_△ABP=S_△ABH+S_△AHP-S_△BHP
=$\frac{1}{2}$BH×AH+$\frac{1}{2}$AH×HD-$\frac{1}{2}$BH×PD
=$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$×3×（m²-4m）-$\frac{1}{2}$×3×（m-1）
=$\frac{3}{2}$m²-$\frac{15}{2}$m+6，
∵△ABP的面积为6，
∴$\frac{3}{2}$m²-$\frac{15}{2}$m+6=6，
∴m=0（舍）或m=5，
∴P（5，-5）；
（3）如图2，

以点M为直角顶点的△CMN为等腰直角三角形，
∴CM=MN，∠CMN=90°，
∴∠NMH+∠CMB=90°，
∵∠CMB+∠BCM=90°，
∴∠NMH=∠BCM，
在Rt△NHM和Rt△MBC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NMH=∠BCM}\\{MN=CM}\\{∠MHN=∠CBM}\end{array}\right.$，
∴Rt△NHM≌Rt△MBC（ASA），
∴MH=BC=2，BM=5，
根据勾股定理得，MC=$\sqrt{B{M}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{29}$，
∴S_△CMN=$\frac{1}{2}$CM²=$\frac{29}{2}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查待定系数法，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，解本题的关键是确定出待定系数法和三角形的面积的计算方法．