Question

6．综合与实践
问题情境
    在综合实践课上，老师让同学们“以三角形的旋转”为主题进行数学活动，如图（1），在三角形纸片ABC中，AB=AC，∠B=∠C=α．
操作发现
（1）创新小组将图（1）中的△ABC以点B为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转角度α，得到△AFG，连接DF，得到图（2），则四边形AFDE的形状是平行四边形．
（2）实践小组将图（1）中的△ABC以点B为旋转中心，逆时针逆转90°，得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△AFG，连接DF、DG、AE，得到图（3），发现四边形AFDB为正方形，请你证明这个结论．
拓展探索
（3）请你在实践小组操作的基础上，再写出图（3）中的一个特殊四边形，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质和旋转角度可求得DE∥AF，且DE=AF，可证明四边形AFDE为平行四边形；
（2）由旋转的性质和旋转角度可求得DE∥AF，且DE=AF，可证明四边形AFDE为平行四边形，再由旋转角是90°，即可得出结论；
（3）由旋转的性质和旋转角度判断出△ABE≌△DFG即可得出结论．

解答 （1）证明：∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的，△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的．
∴DE=AC=AF，∠BAF=α，∠DBE=∠ABC=α，∠DEB=∠C=α，
∴∠DEB=∠BAF，
∴DE∥AF，
∵DE=AF，
∴四边形AFDE是平行四边形，
故答案为：平行四边形；
（2）证明：∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的，△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的，
∴∠DBA=∠FAB=90°，DB=AB=AF，
∴∠DBA+∠FAB=180°，
∴DB∥AF，
∵DB=AF，
∴四边形DBAF是平行四边形，
∵∠DBA=90°
∴平行四边形DBAF是正方形．
（3）四边形AEDG是平行四边形．
证明：∵四边形ABDF是正方形，
∴∠DFA=∠DBA=90°，AB=DF
又∵∠DBE=∠AFG=α，
∴∠EBA=∠GFD．
在△ABE和△DFG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DF}\\{∠EBA=∠GFD}\\{BE=GF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△DFG，
∴AE=DG，
又∵DE=AG=AB，
∴四边形DEAG是平行四边形．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质和判定，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握旋转的性质和灵活运用旋转的性质是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．