Question

16．已知：四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC交AD于E，∠AEB=30°，AE=4cm．
（1）求∠C的度数和CD的长；
（2）若BC=6，求S_?ABCD．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，易证得△ABE是等腰三角形，继而求得答案；
（2）首先过点A作AF⊥BC于点F，可得△ABF是含30°角的直角三角形，继而求得答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠C=∠A，
∴∠CBE=∠AEB=30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=30°，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=4cm，
∴CD=AB=4cm；
∴∠A=180°-∠ABE-∠AEB=120°，
∴∠C=120°；

（2）过点A作AF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，∠BAD=120°，
∴∠ABC=180°-∠BAD=60°，
∴∠BAF=90°-∠ABC=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2（cm），
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=2$\sqrt{3}$（cm），
∴S_?ABCD=BC•AF=6×2$\sqrt{3}$=12$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．注意证得△ABE是等腰三角形，准确作出辅助线是解此题的关键．