(1)如图1.等腰直角三角形ABC如图摆放.其中∠B=90°.点A(0.3).点B在x轴正半轴上.点C在第一象限.做CD⊥x轴于点D.求证:△ABO≌△BCD的条件下.若△ABC的面积=8.直接写出点C的坐标．.点B由原点出发沿x轴的正半轴方向运动.将线段AB绕着点B顺时针旋转90度．A点落在点C处.现有一个边长为2正方形EFGH如图摆放:其中点E(4.0).E.H两� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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18．（1）如图1，等腰直角三角形ABC如图摆放，其中∠B=90°，点A（0，3），点B在x轴正半轴上，点C在第一象限，做CD⊥x轴于点D，求证：△ABO≌△BCD
（2）在（1）的条件下，若△ABC的面积=8，直接写出点C的坐标．
（3）如图2，若点A（0，3），点B由原点出发沿x轴的正半轴方向运动，将线段AB绕着点B顺时针旋转90度．A点落在点C处，现有一个边长为2正方形EFGH如图摆放：其中点E（4，0），E，H两点都在x轴上，若点C恰好落在正方形EFGH的边上时，则点C的坐标为（4，1）（直接写出）
（4）在（3）的条件下，点C随着点B的运动而运动，在整个运动的过程中，点C与点H最小距离为$\frac{3}{2}\sqrt{2}$．

分析（1）如图1，利用AAS证明△ABO≌△BCD；
（2）根据面积为8求出AB的长，利用勾股定理求OB的长，则由（1）中的全等得出CD和OD的长，写出点C的坐标即可；
（3）由（1）全等可得点C的坐标为（4，1）；
（4）如图3，当点C在正方形EFGH的对角线上时，点C与点H距离最小，设OB=x，根据全等三角形对应边相等得PE=x-1，所以PH=3-x，由△CPH为等腰直角三角形，列式x=3-x，求出x的值，则CH=$\sqrt{2}$PC，得出结论．

解答解：（1）如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBD=∠BAO，
∵∠AOB=∠BDC=90°，
∴△ABO≌△BCD；
（2）如图1，∵△ABC的面积=8，
∴$\frac{1}{2}$AB•BC=8，
∵AB=BC，
∴AB=BC=4，
∵A（0，3），
∴OA=3，
∵△ABO≌△BCD，
∴BD=OA=3，
由勾股定理得：BO=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴C（3+$\sqrt{7}$，$\sqrt{7}$）；
（3）当C落在边EF上时，如图2，
由（1）得：△AOB≌△BEC，
∴BE=OA=3，EC=OB，
∵E（4，0），
∴OE=4，
∴OB=4-3=1，
∴EC=OB=1，
∴C（4，1）；
（4）如图3，当点C在正方形EFGH的对角线上时，点C与点H距离最小，
过C作CP⊥x轴于P，
设OB=x，
∵△AOB≌△BPC，
∴BP=AO=3，PC=OB=x，
∵OE=4，
∴EP=3+x-4=x-1，
∵正方形EFGH边长为2，
∴EH=2，
∴PH=2-EP=2-（x-1）=3-x，
∵∠FHE=45°，
∴△CPH为等腰直角三角形，
∴PC=PH，
∴x=3-x，
x=$\frac{3}{2}$，
∴CH=$\sqrt{2}$PC=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$．

点评本题是四边形的综合题，考查了正方形、等腰直角三角形、全等三角形的性质，与旋转变换相结合，使本题变得较为复杂，增大了难度；熟知旋转前后的线段长相等，本题还多次运用了等腰直角三角形的性质得出边相等及角互余的关系，以此来证明两三角形全等，得出条件，从而求出结论．

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