Question

【题目】如图，在在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，点C（0，6）是抛物线与y的交点．

（1）求抛物线与x轴的交点A，B的坐标（A在B的左边）；

（2）设直线y＝h（h为常数，0＜h＜6）与直线BC交于点D，与y交于点E，与AC交于点F，连AE，定点M的坐标为（﹣2，0）．

①求h为何值时，△AEF的面积S最大；

②问：是否存在这样的直线y＝h，使△BDM是等腰三角形？若存在，请求出h的值和点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），B（2，0）；（2）①当h＝3时，△AEF的面积S最大；②存在直线y＝h使△BDM是等腰三角形，当h＝时，点D的坐标为（，）；当h＝时，点D的坐标为（2﹣，）．

【解析】

（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+）2+，将C（0，6）代入抛物线即可求a，再令y=0从而可求出A，B两点的坐标；

（2）分别求出直线AC的解析式为y＝2x+6，直线BC的解析式为y＝﹣3x+6，①根据题意可得E（0，h），F（h﹣3，h），则S＝×h×（3﹣h），将解析式化为顶点式可求得△AEF的面积S最大；②先求出D（2﹣h，h），BM＝4，再分以下三种情况求解：当MB＝MD=4时，根据MD2＝16，结合勾股定理列出关于h的方程，求出h以及点D坐标；当MB＝DB=4时，根据DB2＝16，结合勾股定理列出关于h的方程，求出h以及点D坐标；当MD＝BD时，因为O为BM的中点，且y轴垂直平分BM，则点D在y轴上，此时不成立．

解：（1）抛物线的顶点坐标为，

设抛物线的解析式为y＝a（x+）2+，

又C（0，6）在抛物线上，

∴6＝a+，

∴a＝﹣1，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+6，

令y=0，得﹣x2﹣x+6=0，解得x1=-3，x2=2，

∴A（﹣3，0），B（2，0）；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A(-3，0)，点C(0，6)代入解析式得，

，解得，

∴直线AC的解析式为y＝2x+6，

同理可求得直线BC的解析式为y＝﹣3x+6，

①根据题意可得E（0，h），

又点F在直线AC上，且点F的纵坐标为h，∴点F的坐标为（h﹣3，h），

∴S＝×h×（3﹣h）＝﹣h2+h＝﹣（h﹣3）2+，

当h＝3时，△AEF的面积S最大；

②∵点D在直线BC上，且点D的纵坐标h，∴点D坐标为（2﹣h，h），

∵M的坐标为（﹣2，0），∴BM＝4，

当MB＝MD时，MD＝4，

∴MD2=+h2＝16，

∴h＝或h＝0，

∵0＜h＜6，

∴h＝，

∴D（，）；

当MB＝DB时，

h2+h2＝16，

∴h＝±，

∴h＝，

∴D（2﹣，）；

当MD＝BD时，

又因为O为BM的中点，且y轴垂直平分BM，则点D在y轴上，

∴此时不成立．

综上所述，存在直线y＝h使△BDM是等腰三角形，当h＝时，点D的坐标为（，）；当h＝时，点D的坐标为（2﹣，）．