【题目】如图,二次函数的图象与
轴交于
两点,与
轴交于点
.点
在函数图象上,
轴,且
,直线
是抛物线的对称轴,
是抛物线的顶点.
(1)求的值;
(2)如图①,连接, 线段
上的点
关于直线
的对称点F'恰好在线段BE上,求点
的坐标;
(3)如图②,动点在线段
上,过点
作
轴的垂线分别与
交于点
,与抛物线交于点
.试问:直线
右侧的抛物线上是否存在点
,使得
与
的面积相等,且线段
的长度最小?如果存在,求出点
的坐标;如果不存在,说明理由.
【答案】(1),
;(2)
;(3)
.
【解析】
(1)由条件可求得抛物线对称轴,则可求得的值;由
,可用
表示出
点坐标,代入抛物线解析式可求得
的值;
(2)可设,则可表示出
的坐标,由
、
的坐标可求得直线
的解析式,把
坐标代入直线
解析式可得到关于t的方程,可求得
点的坐标;
(3)设点坐标为
,可表示出
、
、
的长,作
,垂足为
,则可求得
的长,用
可表示出
、
、
的坐标,在
中,由勾股定理可得到关于
的二次函数,利用二次函数的性质可知其取得最小值时
的值,则可求得
点的坐标,
解:(1)且
轴,
抛物线的对称轴为直线
即,
,
,
代入:,
解得 (舍去),
.
(2)由(1)可知
则
由待定系数法可得直线BE的解析式为:
设由,点
关于直线
的对称点
的坐标为
则有:
(3)存在点满足题意.
设点坐标为
,则
,
,
.
作,垂足为
,
△
,
,
.
点在直线
的右侧时,
点的坐标为
,
点的坐标为
,
点的坐标为
.
在
中,
,
时,
取最小值1.此时
点的坐标为
.
综上可知存在满足题意的点,其坐标为
.
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【题目】如图,在直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,4)和(3,0),点C是y轴上的一个动点,且A,B,C三点不在同一条直线上,当△ABC的周长最小时,点C的坐标是____________.
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【题目】如图,已知AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H,与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M,交AB的延长线于点E,切点为F,连接AF交CD于点N.
(1)求证:CA=CN;
(2)连接DF,若cos∠DFA=,AN=
,求圆O的直径的长度.
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【题目】如图,有一张矩形纸片,长10cm,宽6cm,在它的四角各减去一个同样的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32cm2,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是xcm,根据题意可列方程为( )
A. 10×6﹣4×6x=32 B. (10﹣2x)(6﹣2x)=32
C. (10﹣x)(6﹣x)=32 D. 10×6﹣4x2=32
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【题目】如图,已知锐角内接于⊙O,
于点D,连结AO.
⑴若.
①求证:;
②当时,求
面积的最大值;
⑵点E在线段OA上,,连接DE,设
,
(m、n是正数),若
,求证:
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【题目】某经销商销售一种成本价为10元/kg的商品,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元/kg.在销售过程中发现销量y(kg)与售价x(元/kg)之间满足一次函数关系,对应关系如下表所示:
x | 12 | 14 | 15 | 17 |
y | 36 | 32 | 30 | 26 |
⑴求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
⑵若该经销商想使这种商品获得平均每天168元的利润,求售价应定为多少元/kg?
⑶设销售这种商品每天所获得的利润为W元,求W与x之间的函数关系式;并求出该商品销售单价定为多少元时,才能使经销商所获利润最大?最大利润是多少?
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【题目】如图,在在平面直角坐标系中,抛物线的顶点坐标为,点C(0,6)是抛物线与y的交点.
(1)求抛物线与x轴的交点A,B的坐标(A在B的左边);
(2)设直线y=h(h为常数,0<h<6)与直线BC交于点D,与y交于点E,与AC交于点F,连AE,定点M的坐标为(﹣2,0).
①求h为何值时,△AEF的面积S最大;
②问:是否存在这样的直线y=h,使△BDM是等腰三角形?若存在,请求出h的值和点D的坐标;若不存在,请说明理由.
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