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    （1）【操作发现】：

    如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．线段AF与BD之间的数量关系是
    AF=BD
    AF=BD
    ．
    （2）【类比猜想】：
    如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？并加以证明．
    （3）【深入探究】
    图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
    分析：（1）根据等边三角形的性质可得AC=BC，CD=CF，∠ACB=∠DCF，再求出∠BCD=∠ACF，然后利用“边角边”证明△BCD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
    （2）根据等边三角形的性质可得AC=BC，CD=CF，∠ACB=∠DCF，再求出∠BCD=∠ACF，然后利用“边角边”证明△BCD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
    （3）同理可证△BCD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=AF，△BCF′和△DCA全等，根据全等三角形对应边相等可得BF′=AD，即可得解．
    解答：解：（1）∵△ABC和△DCF都是等边三角形，
    ∴AC=BC，CD=CF，∠ACB=∠DCF=60°，
    ∴∠ACB-∠ACD=∠DCF-∠ACD，
    即∠BCD=∠ACF，
    在△BCD和△ACF中，
    AC=BC
    ∠BCD=∠ACF
    CD=CF
    ，
    ∴△BCD≌△ACF（SAS），
    ∴AF=BD；

    （2）结论依然成立．
    理由如下：∵△ABC和△DCF都是等边三角形，
    ∴AC=BC，CD=CF，∠ACB=∠DCF=60°，
    ∴∠ACB+∠ACD=∠DCF+∠ACD，
    即∠BCD=∠ACF，
    在△BCD和△ACF中，
    AC=BC
    ∠BCD=∠ACF
    CD=CF
    ，
    ∴△BCD≌△ACF（SAS），
    ∴AF=BD；

    （3）AF+BF′=AB．
    证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），
    ∴BD=AF，
    同理可证，△BCF′≌△DCA（SAS），
    ∴BF′=AD，
    ∴AF+BF′=AB．
    点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质求出三角形全等的条件是解题的关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    我们约定，若一个三角形（记为△A1）是由另一个三角形（记为△A）通过一次平移，或绕其任一边的中点旋转180°得到的，则称△A1是由△A复制的．以下的操作中每一个三角形只可以复制一次，复制过程可以一直进行下去．如图1，由△A复制出△A1，又由△A1复制出△A2，再由△A2复制出△A3，形成了一个大三角形，记作△B．以下各题中的复制均是由△A开始的，通过复制形成的多边形中的任意相邻两个小三角形（指与△A全等的三角形）之间既无缝隙也无重叠．

    【小题1】（1）图1中标出的是一种可能的复制结果，小明发现△A∽△B，其相似比为_________．在图1的基础上继续复制下去得到△C，若△C的一条边上恰有11个小三角形（指有一条边在该边上的小三角形），则△C中含有______个小三角形；
    【小题2】（2）若△A是正三角形，你认为通过复制能形成的正多边形是________；
    【小题3】 （3）请你用两次旋转和一次平移复制形成一个四边形，在图2的方框内画出草图，并仿照图1作出标记．

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    科目：初中数学 来源：2011年江苏省洋思中学九年级月考数学卷 题型：解答题

    ( 本题满分12分）
    【小题1】(1)动手操作：
    如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么的度数为        。

    【小题2】（2）观察发现小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由

    （3）实践与运用：
    将矩形纸片ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图④）,求∠MNF的大小。

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    科目：初中数学 来源：2012届江苏无锡滨湖中学九年级中考二模数学试卷（带解析） 题型：解答题

    在图形的全等变换中，有旋转变换，翻折（轴对称）变换和平移变换．一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动．


    【小题1】第一小组的同学发现，在如图1－1的矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，Rt△ADC可以由Rt△ABC经过一种变换得到，请你写出这种变换的过程是           ▲           ．
    【小题2】第二小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕EF（如图2－1）；再沿GC折叠，使点B落在EF上的点B'处（如图2－2），这样能得到∠B'GC的大小，你知道∠B'GC的大小是多少吗？请写出求解过程．
    【小题3】第三小组的同学，在一个矩形纸片上按照图3－1的方式剪下△ABC，其中BA＝BC，将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换，每次均移动AC的长度，得到了△CDE、△EFG和△GHI，如图3－2．已知AH＝AI，AC长为a，现以AD、AF和AH为三边构成一个新三角形，已知这个新三角形面积小于15，请你帮助该小组求出a可能的最大整数值．

    【小题4】探究活动结束后，老师给大家留下了一道探究题:
    如图4－1，已知AA'＝BB'＝CC'＝2，∠AOB'＝∠BOC'＝∠COA'＝60°，请利用图形变换探究S△AOB'＋S△BOC'＋S△COA'与的大小关系．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    （1）【操作发现】：
    作业宝
    如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．线段AF与BD之间的数量关系是______．
    （2）【类比猜想】：
    如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？并加以证明．
    （3）【深入探究】
    图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．

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