【题目】在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求这个二次函数的关系解析式;
(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△ACP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)在平面直角坐标系中,是否存在点Q,使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由;
【答案】(1);(2)存在,点P,使△PAC的面积最大;(3)存在点Q,使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形.Q点坐标为:Q1(2,3),Q2(3,1),Q3(﹣1,﹣1),Q4(﹣2,1).
【解析】
(1)直接把点A(﹣3,0),B(1,0)代入二次函数y=ax2+bx+2求出a、b的值即可得出抛物线的解析式;
(2)设点P坐标为(m,n),则n=﹣m2﹣m+2,连接PO,作PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N.根据三角形的面积公式得出△PAC的表达式,再根据二次函数求最大值的方法得出其顶点坐标即可;
(3)以BC为边,在线段BC两侧分别作正方形,正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形”,因此有四个点符合题意要求,再过Q1点作Q1D⊥y轴于点D,过点Q2作Q2E⊥x轴于点E,根据全等三角形的判定定理得出△Q1CD≌△CBO,△CBO≌△BQ2E,故可得出各点坐标.
(1)∵抛物线y=ax2+bx+2过点A(﹣3,0),B(1,0),
∴
∴二次函数的关系解析式为y=﹣x2﹣x+2;
(2)存在.
∵如图1所示,设点P坐标为(m,n),则n=﹣m2﹣m+2.
连接PO,作PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N.
则PM=﹣m2﹣m+2.,PN=﹣m,AO=3.
∵当x=0时,y=﹣×0﹣×0+2=2,
∴OC=2,
∴S△PAC=S△PAO+S△PCO﹣S△ACO
=AOPM+COPN﹣AOCO
=×3×(﹣m2﹣m+2)+×2×(﹣m)﹣×3×2
=﹣m2﹣3m
∵a=﹣1<0
∴函数S△PAC=﹣m2﹣3m有最大值
∴当m=﹣=﹣时,S△PAC有最大值.
∴n=﹣m2﹣m+2=﹣×(﹣)2﹣×(﹣)+2=,
∴存在点P(﹣,),使△PAC的面积最大.
(3)如图2所示,以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3,则点Q1,Q2,Q3,Q4为符合题意要求的点.过Q1点作Q1D⊥y轴于点D,过点Q2作Q2E⊥x轴于点E,
∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∠3+∠4=90°,
∴∠1=∠3,∠2=∠4,
在△Q1CD与△CBO中,
∵,
∴△Q1CD≌△CBO,
∴Q1D=OC=2,CD=OB=1,
∴OD=OC+CD=3,
∴Q1(2,3);
同理可得Q4(﹣2,1);
同理可证△CBO≌△BQ2E,
∴BE=OC=2,Q2E=OB=1,
∴OE=OB+BE=1+2=3,
∴Q2(3,1),
同理,Q3(﹣1,﹣1),
∴存在点Q,使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形.Q点坐标为:Q1(2,3),Q2(3,1),Q3(﹣1,﹣1),Q4(﹣2,1).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行,乙车比甲车先出发1小时,并以各自的速度匀速行驶,途径C地,甲车到达C地停留1小时,因有事按原路原速返回A地.乙车从B地直达A地,两车同时到达A地.甲、乙两车距各自出发地的路程y(千米)与甲车出发所用的时间x(小时)的关系如图,结合图象信息解答下列问题:
(1)乙车的速度是 千米/时,t= 小时;
(2)求甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)直接写出乙车出发多长时间两车相距120千米.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,旗杆AB的顶端B在夕阳的余辉下落在一个斜坡上的点D处,某校数学课外兴趣小组的同学正在测量旗杆的高度,在旗杆的底部A处测得点D的仰角为15°,AC=10米,又测得∠BDA=45°.已知斜坡CD的坡度为i=1:,求旗杆AB的高度(≈1.7,结果精确到个位).
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知:如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点D、E分别是边AB、BC的中点,点F、G是边AC的三等分点,DF、EG的延长线相交于点H,连接HA、HC.
(1)求证:四边形FBGH是菱形;
(2)求证:四边形ABCH是正方形.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1),B(4,0),C(4,4).
(1)按下列要求作图:
①将△ABC向左平移4个单位,得到△A1B1C1;
②将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°,得到△A2B2C2.
(2)求点C1在旋转过程中所经过的路径长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,过点B作BD⊥AB,点C,D都在AB上方,AD交△BCD的外接圆⊙O于点E.
(1)求证:∠CAB=∠AEC.
(2)若BC=3.
①EC∥BD,求AE的长.
②若△BDC为直角三角形,求所有满足条件的BD的长.
(3)若BC=EC= ,则= .(直接写出结果即可)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,直线与轴,轴分别交于点,经过点的抛物线与轴的另一个交点为点,点是抛物线上一点,过点作轴于点,连接,设点的横坐标为.
求抛物线的解析式;
当点在第三象限,设的面积为,求与的函数关系式,并求出的最大值及此时点的坐标;
连接,若,请直接写出此时点的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,等边△ABC中,P为三角形内一点,过P作PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC,连结AP、BP、CP,如果S△APF+S△BPE+S△PCD=,那么△ABC的内切圆半径为___
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com