Question

8．如图，已知点A₁，A₂，…，A₂₀₁₄在函数y=x²位于第二象限的图象上，点B₁，B₂，…，B₂₀₁₄在函数y=x²位于第一象限的图象上，点C₁，C₂，…，C₂₀₁₄在y轴的正半轴上，若四边形OA₁C₁B₁、C₁A₂C₂B₂，…，C₂₀₁₃A₂₀₁₄C₂₀₁₄B₂₀₁₄都是正方形，则正方形C₂₀₁₃A₂₀₁₄C₂₀₁₄B₂₀₁₄的边长为（　　）

• A． 2013
• B． 2014
• C． 2013$\sqrt{2}$
• D． 2014$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据正方形对角线平分一组对角可得OB₁与y轴的夹角为45°，然后表示出OB₁的解析式，再与抛物线解析式联立求出点B₁的坐标，然后求出OB₁的长，再根据正方形的性质求出OC₁，表示出C₁B₂的解析式，与抛物线联立求出B₂的坐标，然后求出C₁B₂的长，再求出C₁C₂的长，然后表示出C₂B₃的解析式，与抛物线联立求出B₃的坐标，然后求出C₂B₃的长，从而根据边长的变化规律解答即可．

解答 解：∵OA₁C₁B₁是正方形，
∴OB₁与y轴的夹角为45°，
∴OB₁的解析式为y=x，
联立方程组得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$．
∴B点的坐标是：（1，1）；
OB₁=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
同理可得：正方形C₁A₂C₂B₂的边长C₁B₂=2$\sqrt{2}$；
…
依此类推，正方形则正方形C₂₀₁₃A₂₀₁₄C₂₀₁₄B₂₀₁₄的边长为2014$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．