Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．

（1）求证：四边形CEDF为平行四边形；

（2）若AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，

①当AE＝　 cm时，四边形CEDF是矩形；

②当AE＝　 cm时，四边形CEDF是菱形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①7；②4．

【解析】

(1)根据平行四边形的性质得出CF平行ED,再根据三角形的判定方法判定△CFG≌△EDG,从而得出FG=CG,根据平行四边形的判定定理,即可判断四边形CEDF为平行四边形.

(2)①过A作AM⊥BC于M，根据直角三角形边角关系和平行四边形的性质得出DE＝BM，根据三角形全等的判定方法判断△MBA≌△EDC,从而得出∠CED＝∠AMB＝90°，根据矩形的判定方法,即可证明四边形CEDF是矩形.

②根据题意和等边三角形的性质可以判断出CE=DE,再根据菱形的判定方法,即可判断出四边形CEDF是菱形.

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CF∥ED，

∴∠FCD＝∠GCD，

∵G是CD的中点，

∴CG＝DG，

在△FCG和△EDG中，

∴△CFG≌△EDG（ASA），

∴FG＝EG，

∴四边形CEDF是平行四边形；

（2）①解：当AE＝7时，平行四边形CEDF是矩形，

理由是：过A作AM⊥BC于M，

∵∠B＝60°，AB＝6，

∴BM＝3，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝6，BC＝AD＝10，

∵AE＝7，

∴DE＝3＝BM，

在△MBA和△EDC中，，

∴△MBA≌△EDC（SAS），

∴∠CED＝∠AMB＝90°，

∵四边形CEDF是平行四边形，

∴四边形CEDF是矩形，

故答案为：7；

②当AE＝4时，四边形CEDF是菱形，

理由是：∵AD＝10，AE＝4，

∴DE＝6，

∵CD＝6，∠CDE＝60°，

∴△CDE是等边三角形，

∴CE＝DE，

∵四边形CEDF是平行四边形，

∴四边形CEDF是菱形，

故答案为：4．