Question

如图，BD是△ABC的一条角平分线，DK∥AB交BC于E点，且DK=BC，连接BK，CK，得到四边形DCKB，请判断四边形DCKB是哪种特殊四边形，并说明理由．

Answer 1

解：∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠DBC
∵DK∥AB
∴∠ABD=∠BDK
∴∠CBD=∠BDK
∴EB=ED
∵DK=BC
∴EK=EC
∴∠EKC=∠ECK
∵∠BED=∠CEK
∴∠EKC=∠ECK=∠CBD=∠BDK=（180°-∠BED）
∴BD∥CK
∵BD=BD
∴△BDK≌△DBC
∴∠KBD=∠CDB

（i）当BA≠BC时，四边形DCKB是等腰梯形．理由如下：
∵BA≠BC，BD平分∠ABC
∴BD与AC不垂直
∴∠KBD+∠CDB=2∠CDB≠180°
∴DC与BK不平行
∴四边形DCKB是等腰梯形

（ii）当BA=BC时，四边形DCKB是矩形．理由如下：
∵BA=BC，BD平分∠ABC
∴BD与AC垂直
∴∠DBK=∠BDC=90°
∴CD平行于BK
∴四边形BDCK是矩形
分析：由角平分线的性质可得到∠ABD=∠DBC，再根据平行线的性质可推出∠ABD=∠BDK，利用AAS即可判定△BDK≌△DBC，由全等三角形的性质得∠KBD=∠CDB，再分BA≠BC或BA=BC进行确定四边形的形状．
点评：此题考查了学生对等腰梯形的判定及矩形的判定的理解及运用．