Question

5．已知：AB为⊙O的直径，AB=2，弦DE=1，直线AD与BE相交于点C，弦DE在⊙O上运动且保持长度不变，⊙O的切线DF交BC于点F．
（1）如图1，若DE∥AB，求证：CF=EF；
（2）如图2，当点E运动至与点B重合时，试判断CF与BF是否相等，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接OD、OE，证得△OAD、△ODE、△OEB、△CDE是等边三角形，进一步证得DF⊥CE即可证得结论；
（2）根据切线的性质以及等腰三角形的性质即可证得结论．

解答 证明：如图1，连接OD、OE，
∵AB=2，
∴OA=OD=OE=OB=1，
∵DE=1，
∴OD=OE=DE，
∴△ODE是等边三角形，
∴∠ODE=∠OED=60°，
∵DE∥AB，
∴∠AOD=∠ODE=60°，∠EOB=∠OED=60°，
∴△AOD和△BOE是等边三角形，
∴∠OAD=∠OBE=60°，
∴∠CDE=∠OAD=60°，∠CED=∠OBE=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴∠EDF=90°-60°=30°，
∴∠DFE=90°，
∴DF⊥CE，
∴CF=EF；

（2）相等；
如图2，点E运动至与点B重合时，BC是⊙O的切线，
∵⊙O的切线DF交BC于点F，
∴BF=DF，
∴∠BDF=∠DBF，
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∴∠FDC=∠C，
∴DF=CF，
∴BF=CF．

点评 本题考查了切线的性质、平行线的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的判定和性质，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键．