Question

16．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线．
（2）若BC=3，CD=3$\sqrt{2}$，求弦AD的长．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图，由AD平分∠EAC得到∠1=∠3，加上∠1=∠2，则∠3=∠2，于是可判断OD∥AE，根据平行线的性质得OD⊥CE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）由△CDB∽△CAD，可得$\frac{CD}{CA}$=$\frac{CB}{CD}$=$\frac{BD}{AD}$，推出CD²=CB•CA，可得（3$\sqrt{2}$）²=3CA，推出CA=6，推出AB=CA-BC=3，$\frac{BD}{AD}$=$\frac{3\sqrt{2}}{6}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，设BD=$\sqrt{2}$K，AD=2K，在Rt△ADB中，可得2k²+4k²=5，求出k即可解决问题．

解答 （1）证明：连接OD，如图，
∵AD平分∠EAC，
∴∠1=∠3，
∵OA=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠2，
∴OD∥AE，
∵AE⊥DC，
∴OD⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；

（2）连接BD．
∵∠CDO=∠ADB=90°，
∴∠2=∠CDB=∠1，∵∠C=∠C，
∴△CDB∽△CAD，
∴$\frac{CD}{CA}$=$\frac{CB}{CD}$=$\frac{BD}{AD}$，
∴CD²=CB•CA，
∴（3$\sqrt{2}$）²=3CA，
∴CA=6，
∴AB=CA-BC=3，$\frac{BD}{AD}$=$\frac{3\sqrt{2}}{6}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，设BD=$\sqrt{2}$K，AD=2K，
在Rt△ADB中，2k²+4k²=9，
∴k=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴AD=$\sqrt{6}$．

点评 本题考查切线的判定和性质、平行线的性质、切线的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会填空常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．