Question

如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD边上的点，四边形AECF是⊙O的内接四边形，且AC是⊙O的直径．
（1）求证：BE=DF；
（2）若BA与⊙O相切，BC=10cm，BE：CE=3：2，求AC的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF；
（2）解：∵BA与⊙O相切，
∴∠BAC=90°，
∵BC=10cm，BE：CE=3：2，
∴CE=4cm，
∵∠ACE=∠BCA，
∴Rt△CAE∽Rt△CBA，
∴CA：CB=CE：CA，即CA：10=4：CA，
∴CA=2（cm）．
分析：（1）根据平行四边形的性质得到AB=CD，∠B=∠D，再根据圆周角定理得到∠AEB=∠CFD=90°，则可利用“AAS”判断△ABE≌△CDF，所以BE=DF；
（2）根据切线的性质得∠BAC=90°，由于BC=10cm，BE：CE=3：2，则CE=4cm，再证明Rt△CAE∽Rt△CBA，所以CA：CB=CE：CA，即CA：10=4：CA，然后解方程得到AC的长．
点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理、平行四边形的性质以及三角形全等、相似的判定与性质．