Question

如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=105°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）试判断△COD的形状，并说明理由．
（2）△AOD能否成为等边三角形？如能，请求出α的值；如不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）△OCD是等边三角形，理由为：
由旋转可得△BCO≌△ACD，
∴OC=CD，∠BCO=∠ACD，
又△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，即∠BCO+∠OCA=60°，
∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=∠OCA+∠BCO=60°，又OC=CD，
则△OCD是等边三角形；
（2）△AOD不可能是等边三角形，理由为：
假设△AOD是等边三角形，则∠ADO=60°，
∵△OCD是等边三角形，
∴∠DOC=∠CDO=60°，即∠ADC=120°，
又∵∠AOB+∠α+∠COD+∠AOD=360°，且∠AOB=105°，
∴∠BOC=360°-105°-60°-60°=135°，
这与已知∠BOC=∠ADC矛盾，故假设错误，
则△AOD不可能是等边三角形．
分析：（1）三角形OCD是等边三角形，理由为：由旋转可知三角形BCO与三角形ACD全等，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等可得出OC=CD，∠BCO=∠ACD，由三角形ABC为等边三角形，可得出内角∠ACB为60°，即∠BCO与∠OCA之和为60°，等量代换可得出∠ACD与∠OCA之和为60°，即∠OCD为60°，再由OC=CD，得到三角形OCD为等边三角形；
（2）三角形AOD不可能为等边三角形，理由为：假设三角形AOD为等边三角形，可得出∠ADO为60°，再由三角形OCD为60°，得到∠ADC为120°，即∠BOC为120°，而∠AOB=105°，∠AOC=120°，根据周角的定义求出∠BOC为135°，矛盾，故假设错误，得到三角形AOD不可能为等边三角形．
点评：此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，以及反证法的运用，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．