Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，DG⊥AC于点G，交AB的延长线于点F．

（1）求证：直线FG是⊙O的切线；

（2）若AC=10，cosA=，求CG的长．

Answer 1

 （1）证明：如图1，连接OD，

∵AB=AC，

∴∠C=∠ABC，

∵OD=OB，

∴∠ABC=∠ODB，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∴∠ODG=∠DGC，

∵DG⊥AC，

∴∠DGC=90°，

∴∠ODG=90°，

∴OD⊥FG，

∵OD是⊙O的半径，

∴直线FG是⊙O的切线．

（2）解：如图2，

∵AB=AC=10，AB是⊙O的直径，

∴OA=OD=10÷2=5，

由（1），可得

OD⊥FG，OD∥AC，

∴∠ODF=90°，∠DOF=∠A，

在△ODF和△AGF中，

∴△ODF∽△AGF，

∴，

∵cosA=，

∴cos∠DOF=，

∴=，

∴AF=AO+OF=5，

∴，

解得AG=7，

∴CG=AC﹣AG=10﹣7=3，

即CG的长是3．