Question

【题目】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）连接BC，若cos∠CAD＝，⊙O的半径为5，求CD、AE的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）CD＝，AE＝．

【解析】

（1）连接OC，如图，利用切线的性质得OC⊥CD，则OC∥AD，根据平行线的性质得到∠2＝∠3，加上∠1＝∠3，所以∠1＝∠2；

（2）连接BC、BE，BE交OC于F，如图，利用圆周角定理得到∠AEB＝∠ACB＝90°，在Rt△ACB中利用余弦定义可计算出AC＝8，则在Rt△ACD中可计算出AD＝ ，从而利用勾股定理计算出CD＝ ，利用四边形DEFC为矩形得到EF＝CD＝，OF⊥BE，然后根据勾股定理可计算出AE．

（1）证明：连接OC，如图，

∵CD为切线，

∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠2＝∠3，

∵OC＝OA，

∴∠1＝∠3，

∴∠1＝∠2，

∴AC平分∠DAB；

（2）解：连接BC、BE，BE交OC于F，如图，

∵AB为直径，

∴∠AEB＝∠ACB＝90°，

在Rt△ACB中，∵cos∠1＝cos∠2＝，

∴AC＝ ×10＝8，

在Rt△ACD中，cos∠2＝＝ ，

∴AD＝×8＝，

∴CD＝，

易得四边形DEFC为矩形，

∴EF＝CD＝，OF⊥BE，

∴BE＝2EF＝ ，

在Rt△ABE中，AE＝，

∴CD＝，AE＝ ．